Potęgi i pierwiastki na egzaminie ósmoklasisty

Potęgi albo pierwiastki były w każdym z 8 arkuszy egzaminu ósmoklasisty od 2019 roku, łącznie w 16 zadaniach. Wszystkie były zamknięte i warte po 1 punkcie, a poprawnie rozwiązywało je od 33% do 80% uczniów. Na tej stronie rozwiążesz osiem z nich i zobaczysz, czego dokładnie wymaga CKE.

Aktualizacja: · Redakcja: easymat

Ile zadań z potęg i pierwiastków jest na egzaminie?

Przejrzeliśmy arkusze z terminu głównego od 2019 do 2026 roku i przypisaliśmy każde zadanie do jednego tematu. Potęgi i pierwiastki wyszły w każdym arkuszu, zwykle w jednym albo dwóch zadaniach. To mało punktów, bo zawsze były to zadania zamknięte za 1 punkt, ale wracają tak regularnie, że ten temat opłaca się mieć zrobiony na pewno.

Trudność bywa za to bardzo różna. Najłatwiejsze zadanie rozwiązało 80% uczniów, najtrudniejsze 33%. Procenty w tabeli pochodzą ze sprawozdań CKE i mówią, ilu uczniów zdobyło za dane zadanie punkt.

Zadania z potęg i pierwiastków w arkuszach CKE z terminu głównego. W nawiasie procent uczniów, którzy rozwiązali zadanie poprawnie (w sprawozdaniach CKE to „poziom wykonania zadania”). Klasyfikacja tematów jest nasza.
RokZadania i procent poprawnychIle
20193 (33%), 4 (45%)2
20206 (35%), 7 (47%)2
20214 (71%), 7 (44%)2
20225 (68%), 8 (73%)2
20232 (65%), 5 (73%), 7 (40%)3
20247 (49%)1
20257 (37%), 8 (58%)2
20263 (brak danych), 4 (80%)2

Przy zadaniu 3 z 2026 roku nie ma jeszcze procentu, bo CKE podaje te dane w sprawozdaniu, które ukazuje się kilka miesięcy po egzaminie. Uzupełnimy tę liczbę, gdy sprawozdanie za 2026 rok będzie dostępne.

Źródła: CKE, arkusze; CKE, sprawozdanie 2019, s. 12; CKE, sprawozdanie 2020, s. 12; CKE, sprawozdanie 2021, s. 13; CKE, sprawozdanie 2022, s. 13; CKE, sprawozdanie 2023, s. 13; CKE, sprawozdanie 2024, s. 14; CKE, sprawozdanie 2025, s. 14; CKE, arkusz 2026.

Co trzeba umieć?

Zakres egzaminu w 2027 roku wyznacza podstawa programowa w brzmieniu z czerwca 2024 roku. Ten temat to w niej dwa działy z materiału klasy 7 i 8, po pięć wymagań każdy: „Potęgi o podstawach wymiernych” i „Pierwiastki”. Poniżej są wszystkie, przepisane z rozporządzenia zwykłym językiem.

Potęgi

Klasa 7 i 8

  • zapisać iloczyn jednakowych czynników jako potęgę
  • mnożyć i dzielić potęgi o tej samej podstawie
  • mnożyć potęgi o różnych podstawach i tym samym wykładniku
  • podnosić potęgę do potęgi
  • czytać i zapisywać liczby w notacji wykładniczej

Pierwiastki

Klasa 7 i 8

  • obliczać pierwiastki z kwadratów i sześcianów liczb wymiernych
  • szacować wielkość pierwiastka i całego wyrażenia
  • porównywać wyrażenie z pierwiastkami z liczbą wymierną
  • liczyć pierwiastek z iloczynu i ilorazu, wyłączać i włączać czynnik
  • mnożyć i dzielić pierwiastki tego samego stopnia

Jedno z nich ma nazwę, która na lekcjach pada częściej niż na egzaminie: notacja wykładnicza. To zapis dużej albo bardzo małej liczby jako iloczynu liczby od 1 do 10 i potęgi dziesiątki, na przykład 6⋅1076 \cdot 10^{7} zamiast 60 000 000.

Trzy z tych wymagań wracają w arkuszach najczęściej i na nich wykłada się najwięcej uczniów. Poniżej możesz je sobie poklikać, zanim przejdziesz do zadań.

Mnożenie potęg o tej samej podstawie

22222222

2523

pierwszy wykładnik5drugi wykładnik3

25 razy 23 to po prostu 8 dwójek pomnożonych przez siebie, czyli 25+3 = 28. Podstawa zostaje ta sama: dwójki nie zamieniają się w czwórki.

Potęga potęgi

222222222222

(23)4

wykładnik w nawiasie3wykładnik nad nawiasem4

(23)4 to 4 razy po 3 dwójki, czyli 12 dwójek razem. Dlatego przy potęgowaniu potęgi wykładniki mnożymy: 23 · 4 = 212.

Szacowanie pierwiastka

60
772 = 49882 = 64

60 leży między 7 a 8, bo 72 = 49 jest mniejsze od 60, a 82 = 64 jest większe. Tak właśnie szacuje się pierwiastek na egzaminie: szuka się dwóch sąsiednich kwadratów.

Czego w wymaganiach nie ma?

Nie ma dodawania i odejmowania pierwiastków jako osobnej umiejętności, więc jeśli w zadaniu stoi suma albo różnica pierwiastków, to po to, żeby policzyć każdy z osobna albo oszacować całe wyrażenie. Nie ma też usuwania niewymierności z mianownika ani działań na potęgach o wykładniku ujemnym. Ujemny wykładnik może się pokazać tylko w notacji wykładniczej, i tak właśnie było w arkuszu próbnym ze stycznia 2026 roku: w zadaniu z liczbą 5,27⋅10−35{,}27 \cdot 10^{-3} chodziło o porównywanie ułamków, a nie o prawa działań na potęgach.

Na egzaminie nie ma karty wzorów. Na matematykę wolno przynieść długopis z czarnym tuszem i linijkę, a broszurę ze wzorami dostają dopiero maturzyści, więc wszystkie prawa działań trzeba mieć w głowie. W informatorze CKE z tego działu są zresztą tylko 3 z 37 przykładowych zadań i wszystkie są zamknięte, za 1 punkt.

Źródła: Dz.U. 2024 poz. 996, s. 189; CKE, informator, s. 5; Dz.U. 2026 poz. 378, s. 2; CKE, przybory 2027, s. 2; CKE, zasady oceniania próbnego 2026, s. 5.

Jakie zadania wracają co roku?

Zadania z tego tematu chodzą w kilku stałych układach. Pierwszy to prawa działań: kilka wyrażeń z potęgami i pytanie, które z nich są sobie równe albo które nie pasuje do reszty. Drugi to potęgi liczby 10, czyli duże liczby zapisane skrótowo, jak (60 000 000)3(60\,000\,000)^3. Trzeci to szacowanie pierwiastka, czyli pytanie, między którymi liczbami całkowitymi leży 60\sqrt{60}. Czwarty to działania na pierwiastkach, najczęściej mnożenie i dzielenie pod jednym pierwiastkiem.

Forma bywa różna. Najczęściej jest to wybór jednej odpowiedzi, ale w 2023 roku dwa z trzech zadań miały formę zdań z luką, a w 2024 i 2025 roku trzeba było ocenić prawdziwość dwóch zdań. Te dwie formy są zdradliwe, bo punkt jest tylko za komplet: jedna dobra odpowiedź z dwóch nie daje nic. Niżej znajdziesz po jednym zadaniu każdego rodzaju.

Źródła: CKE, arkusze; CKE, arkusz 2026.

Sprawdź się: osiem zadań z potęg i pierwiastków z arkuszy CKE

Zadania ułożyliśmy od najłatwiejszego do najtrudniejszego, według procentu uczniów, którzy je rozwiązali. Treści są przepisane z arkuszy CKE z lat 2019-2026, a rozwiązania i komentarze są nasze. Każdy arkusz w całości, w PDF, znajdziesz w spisie źródeł na dole strony. Sprawdzanie odbywa się w przeglądarce, więc nie potrzebujesz konta ani kartki.

Zadanie zamknięte · 1 punkt

Zadanie 8 z egzaminu ósmoklasisty 2022

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba 60\sqrt{60} jest

Wybierz odpowiedź

Pokaż rozwiązanie

  1. Szukamy dwóch kolejnych liczb całkowitych, których kwadraty otaczają 60.

    72=4982=647^2 = 49 \qquad 8^2 = 64

  2. Skoro 49<60<6449 < 60 < 64, to 7<60<87 < \sqrt{60} < 8. Poprawna odpowiedź to C.

Częsty błąd: pierwiastek to nie połowa liczby. Kto dzieli 60 przez 2, szuka wyniku w okolicach 30 i wybiera cokolwiek.

Zdania z luką · 1 punkt

Zadanie 5 z egzaminu ósmoklasisty 2023

Uzupełnij poniższe zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Wybierz odpowiedzi

Wyrażenie 81−49\sqrt{81}-\sqrt{49} jest równe

Wyrażenie 144+25\sqrt{144}+\sqrt{25} jest równe

Pokaż rozwiązanie

  1. Każdy pierwiastek liczymy osobno, bo wszystkie cztery liczby są kwadratami liczb całkowitych.

    81=949=7144=1225=5\sqrt{81} = 9 \quad \sqrt{49} = 7 \quad \sqrt{144} = 12 \quad \sqrt{25} = 5

  2. Stąd 9−7=29 - 7 = 2, czyli odpowiedź A, oraz 12+5=1712 + 5 = 17, czyli odpowiedź D.

Częsty błąd: obie złe odpowiedzi to ta sama pomyłka, czyli wciągnięcie działania pod pierwiastek. Tak powstaje 81−49=32\sqrt{81-49} = \sqrt{32} i 144+25=13\sqrt{144+25} = 13. Pierwiastek rozdziela się tylko przy mnożeniu i dzieleniu.

Zadanie zamknięte · 1 punkt

Zadanie 4 z egzaminu ósmoklasisty 2021

Z reguł działań na potęgach wynika, że:

(200 000)3=(2⋅100 000)3=(2⋅105)3=23⋅1015(200\,000)^{3} = (2 \cdot 100\,000)^{3} = (2 \cdot 10^{5})^{3} = 2^{3} \cdot 10^{15}

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Z tych samych reguł wynika, że liczba (60 000 000)3(60\,000\,000)^{3} jest równa

Wybierz odpowiedź

Pokaż rozwiązanie

  1. Zapisujemy liczbę skrótowo: po szóstce jest siedem zer.

    60 000 000=6⋅10760\,000\,000 = 6 \cdot 10^{7}

  2. Potęga iloczynu to iloczyn potęg, więc do potęgi idą oba czynniki.

    (6⋅107)3=63⋅(107)3(6 \cdot 10^{7})^{3} = 6^{3} \cdot (10^{7})^{3}

  3. Przy potęgowaniu potęgi wykładniki mnożymy, więc (107)3=1021(10^{7})^{3} = 10^{21}, a cała liczba to 63⋅10216^{3} \cdot 10^{21}. Poprawna odpowiedź to A.

Częsty błąd: w odpowiedziach B i D szóstka została bez wykładnika. To znaczy, że ktoś podniósł do potęgi tylko część iloczynu.

Zadanie zamknięte · 1 punkt

Zadanie 5 z egzaminu ósmoklasisty 2022

Dane są trzy liczby:

x=1030⋅107010x=\frac{10^{30}\cdot 10^{70}}{10}y=(103)15⋅1060y=(10^{3})^{15}\cdot 10^{60}z=1050⋅10801020z=10^{50}\cdot\frac{10^{80}}{10^{20}}

Która z tych liczb jest mniejsza od liczby 1010010^{100}? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wybierz odpowiedź

Pokaż rozwiązanie

  1. Każdą liczbę sprowadzamy do jednej potęgi dziesiątki. Przy mnożeniu wykładniki dodajemy, przy dzieleniu odejmujemy, a samo 10 to 10110^{1}.

  2. x=1030+70−1=1099x = 10^{30+70-1} = 10^{99}y=103⋅15⋅1060=10105y = 10^{3 \cdot 15} \cdot 10^{60} = 10^{105}z=1050⋅1080−20=10110z = 10^{50} \cdot 10^{80-20} = 10^{110}

  3. Tylko xx ma wykładnik mniejszy od 100, więc poprawna odpowiedź to A.

Częsty błąd: próba wymnożenia tych liczb. Przy potęgach dziesiątki cała robota siedzi w wykładnikach, a nie w rachunkach.

Zadanie zamknięte · 1 punkt

Zadanie 8 z egzaminu ósmoklasisty 2025

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia 86:438^{6} : 4^{3} zapisana w postaci potęgi liczby 22 jest równa

Wybierz odpowiedź

Pokaż rozwiązanie

  1. Obie podstawy są potęgami dwójki, więc sprowadzamy je do jednej.

    8=234=228 = 2^{3} \qquad 4 = 2^{2}

  2. Podnosimy potęgę do potęgi, czyli mnożymy wykładniki.

    86=(23)6=21843=(22)3=268^{6} = (2^{3})^{6} = 2^{18} \qquad 4^{3} = (2^{2})^{3} = 2^{6}

  3. Teraz podstawy są takie same, więc przy dzieleniu odejmujemy wykładniki: 218:26=2122^{18} : 2^{6} = 2^{12}. Poprawna odpowiedź to D.

Częsty błąd: odjęcie wykładników 6 i 3 bez ujednolicenia podstaw. Regułę o odejmowaniu wykładników wolno stosować dopiero wtedy, gdy podstawy są takie same.

Prawda czy fałsz · 1 punkt

Zadanie 7 z egzaminu ósmoklasisty 2024

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F, jeśli jest fałszywe.

Wybierz odpowiedzi

Iloczyn 3⋅953 \cdot 9^{5} jest równy wartości wyrażenia 3113^{11}.

Wyrażenie 28⋅27210\frac{2^{8} \cdot 2^{7}}{2^{10}} można zapisać w postaci 252^{5}.

Pokaż rozwiązanie

  1. Pierwsze zdanie: dziewiątka to 323^{2}, więc zamieniamy ją na potęgę trójki i dodajemy wykładniki.

    3⋅95=3⋅(32)5=31⋅310=3113 \cdot 9^{5} = 3 \cdot (3^{2})^{5} = 3^{1} \cdot 3^{10} = 3^{11}

    Zdanie jest prawdziwe.

  2. Drugie zdanie: najpierw licznik, potem dzielenie.

    28⋅27210=215210=25\frac{2^{8} \cdot 2^{7}}{2^{10}} = \frac{2^{15}}{2^{10}} = 2^{5}

    To też prawda, więc odpowiedź to dwa razy P.

Częsty błąd: uznanie zdania za fałszywe tylko dlatego, że podstawy wyglądają na różne. Zanim tak zdecydujesz, sprawdź, czy jedna podstawa nie jest potęgą drugiej.

Zadanie zamknięte · 1 punkt

Zadanie 6 z egzaminu ósmoklasisty 2020

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia 3(27−12)\sqrt{3}\left(\sqrt{27}-\sqrt{12}\right) jest równa

Wybierz odpowiedź

Pokaż rozwiązanie

  1. Mnożenie wchodzi pod pierwiastek, więc mnożymy 3\sqrt{3} przez każdy składnik nawiasu.

    3⋅27=81=93⋅12=36=6\sqrt{3} \cdot \sqrt{27} = \sqrt{81} = 9 \qquad \sqrt{3} \cdot \sqrt{12} = \sqrt{36} = 6

  2. Zostaje 9−6=39 - 6 = 3, czyli odpowiedź B.

Tak samo wyjdzie przez wyłączanie czynnika: 27=33\sqrt{27} = 3\sqrt{3}, 12=23\sqrt{12} = 2\sqrt{3}, więc w nawiasie zostaje 3\sqrt{3}, a 3⋅3=3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3.

Częsty błąd: odjęcie liczb pod pierwiastkami. Stąd biorą się odpowiedzi 45\sqrt{45} i 69\sqrt{69}, których w tym zadaniu nie da się otrzymać poprawnym rachunkiem.

Zadanie zamknięte · 1 punkt

Zadanie 3 z egzaminu ósmoklasisty 2019

W tabeli zapisano trzy wyrażenia.

I.52⋅108⋅54\mathrm{I.}\quad 5^{2} \cdot 10^{8} \cdot 5^{4}II.(510:52)⋅108\mathrm{II.}\quad (5^{10} : 5^{2}) \cdot 10^{8}III.28⋅58⋅58\mathrm{III.}\quad 2^{8} \cdot 5^{8} \cdot 5^{8}

Które z tych wyrażeń są równe 50850^{8}? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wybierz odpowiedź

Pokaż rozwiązanie

  1. Rozbijamy liczbę 50 na czynniki i podnosimy oba do potęgi.

    508=(5⋅10)8=58⋅10850^{8} = (5 \cdot 10)^{8} = 5^{8} \cdot 10^{8}

  2. Wyrażenie I: 52⋅54=565^{2} \cdot 5^{4} = 5^{6}, czyli o dwie piątki za mało. Nie pasuje.

  3. Wyrażenie II: 510:52=585^{10} : 5^{2} = 5^{8}, więc całość to 58⋅1085^{8} \cdot 10^{8}. Pasuje.

  4. Wyrażenie III wygląda inaczej, ale 108=28⋅5810^{8} = 2^{8} \cdot 5^{8}, więc 508=28⋅58⋅5850^{8} = 2^{8} \cdot 5^{8} \cdot 5^{8}. Też pasuje, czyli poprawna odpowiedź to B.

Częsty błąd: zatrzymanie się po znalezieniu pierwszego dobrego wyrażenia. Gdy w odpowiedziach są warianty „tylko I i II”, każde wyrażenie trzeba sprawdzić do końca.

Źródła: CKE, arkusze; CKE, arkusz 2026; CKE, sprawozdanie 2019, s. 12; CKE, sprawozdanie 2020, s. 12; CKE, sprawozdanie 2021, s. 13; CKE, sprawozdanie 2022, s. 13; CKE, sprawozdanie 2023, s. 13; CKE, sprawozdanie 2024, s. 14; CKE, sprawozdanie 2025, s. 14.

Na czym uczniowie się potykają?

Po każdym egzaminie CKE opisuje w sprawozdaniu, co uczniom nie wyszło. Przy tym temacie wracają trzy rzeczy. Pierwsza to traktowanie pierwiastka jak zwykłego nawiasu. W 2020 roku w zadaniu z różnicą pierwiastków samą różnicę źle obliczyła połowa piszących, a całe zadanie rozwiązało 35% uczniów.

Druga to potęgi o różnych podstawach. W 2025 roku co piąty uczeń zamiast sprowadzić potęgi do wspólnej podstawy podzielił podstawy i odjął wykładniki, a kolejne 11% nie poradziło sobie z samym potęgowaniem potęgi. W 2020 roku co trzeci uczeń wskazał wyrażenie, w którym nie zauważył, że dziewiątka jest potęgą trójki.

Trzecia to zatrzymywanie się w połowie zadania. W 2019 roku 58% uczniów wskazało tylko jedno z dwóch poprawnych wyrażeń, choć poprawna odpowiedź obejmowała oba. Ta sama pułapka wraca w zadaniach prawda-fałsz: w 2024 roku pierwsze zdanie oceniło dobrze 58% uczniów, drugie 77%, a punkt za komplet dostało 49%.

Widać przy tym, że błędne odpowiedzi w arkuszu są tak dobrane, żeby pasowały do konkretnej pomyłki. Wciągnięcie dodawania pod pierwiastek, pomnożenie podstaw zamiast dodania wykładników albo podniesienie do potęgi tylko części iloczynu mają w zestawie swoją gotową odpowiedź. Jeśli więc wynik od razu pasuje do jednej z podanych liczb, to żaden dowód, że rachunek jest dobry.

Źródła: CKE, sprawozdanie 2019, s. 34; CKE, sprawozdanie 2020, s. 16; CKE, sprawozdanie 2023, s. 23; CKE, sprawozdanie 2024, s. 34 i 35; CKE, sprawozdanie 2025, s. 19 i 23.

Jak się tego nauczyć?

Zacznij od praw działań na potęgach, bo wracają najczęściej i są podstawą wszystkiego innego. Trzy reguły wystarczą na większość zadań: przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie wykładniki dodajemy, przy dzieleniu odejmujemy, a przy podnoszeniu potęgi do potęgi mnożymy. Do tego jedna umiejętność, która na egzaminie robi różnicę: zauważanie, że 4, 8 i 16 to potęgi dwójki, a 9 i 27 to potęgi trójki.

Potem weź potęgi liczby 10, czyli zapisywanie dużych liczb w skrócie. Ćwiczenie jest proste: zapisz 60 000 000 jako 6⋅1076 \cdot 10^{7} i policz zera na palcach, aż przestaniesz się mylić. Dalej przejdź do pierwiastków: najpierw wartości pierwiastków z kwadratów, potem mnożenie i dzielenie pod jednym pierwiastkiem, a na końcu szacowanie, czyli szukanie dwóch sąsiednich kwadratów.

Na koniec dwie rzeczy, które zabierają najwięcej punktów. Po pierwsze, pierwiastek nie rozdziela się przy dodawaniu i odejmowaniu, a to najczęstsza pułapka w zadaniach z tego tematu. Po drugie, w zadaniach z luką i prawda-fałsz punkt jest tylko za komplet, więc drugie zdanie sprawdź tak samo dokładnie jak pierwsze, nawet gdy pierwsze poszło gładko.

Źródła: CKE, arkusze; CKE, informator.

Źródła

easymat nie jest związany z Centralną Komisją Egzaminacyjną. Zadania z arkuszy CKE przytaczamy z podaniem źródła, a rozwiązania i komentarze są nasze.

Poradnik prowadzi easymat, aplikacja do nauki matematyki przed egzaminem ósmoklasisty. Konto jest darmowe. Pełny kurs to 15 tematów, na które podzieliliśmy materiał egzaminu: lekcje wideo, zadania rozwiązywane na tablicy rysikiem albo ze zdjęcia kartki w zeszycie i asystent, który czyta cały zapis rozwiązania, a nie sam wynik. Kosztuje 499 zł jednorazowo, dostęp trwa do 31 maja 2027, umowę zawiera osoba dorosła i ma 14 dni na odstąpienie. Pakiet do egzaminu ósmoklasisty: co jest w środku.