Wzory na egzamin ósmoklasisty z matematyki

Kolejność działań

1. nawiasy
2. potęgi i pierwiastki
3. mnożenie i dzielenie, od lewej
4. dodawanie i odejmowanie, od lewej

Cechy podzielności

• przez 2ostatnia cyfra parzysta
• przez 3suma cyfr dzieli się przez 3
• przez 4liczba z dwóch ostatnich cyfr dzieli się przez 4
• przez 5ostatnia cyfra 0 lub 5
• przez 6dzieli się przez 2 i przez 3
• przez 9suma cyfr dzieli się przez 9
• przez 10ostatnia cyfra 0

Liczby pierwsze do 30

liczba pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki: $1$ i samą siebie

$2,\; 3,\; 5,\; 7,\; 11,\; 13,\; 17,\; 19,\; 23,\; 29$

Ułamki dziesiętne

Znaki

• $(+)\cdot(+)=(+)$
• $(-)\cdot(-)=(+)$
• $(+)\cdot(-)=(-)$
• tak samo przy dzieleniu
• $a-(-b)=a+b$

Ułamki

• $\dfrac{a}{b}=\dfrac{a\cdot k}{b\cdot k}$rozszerzanie i skracanie
• $\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}=\dfrac{a+b}{c}$dodawanie, wspólny mianownik
• $\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{c}{d}=\dfrac{a\cdot c}{b\cdot d}$mnożenie
• $\dfrac{a}{b}:\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{d}{c}$dzielenie
• $2\dfrac{3}{4}=\dfrac{2\cdot 4+3}{4}=\dfrac{11}{4}$liczba mieszana

Dzielenie z resztą

• $a=b\cdot q+r$, gdzie $0\le r<b$
• np. $23=5\cdot4+3$

Oś liczbowa

• $|a-b|$odległość punktów $a$ i $b$
• $|{-3}|=3$, $|3|=3$

Zaokrąglanie

0–4: w dół, 5–9: w górę

• $\dfrac23=0{,}66\textcolor{#4d7a5a}{\boldsymbol{6}}\ldots\approx0{,}67$do części setnych

Liczby rzymskie

np. MMXXVII = 2027

Potęga

• $a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot\ldots\cdot a}_{n\text{ czynników}}$$a$ podstawa, $n$ wykładnik
• $(-2)^2=4$, $\;(-2)^3=-8$parzysty wykładnik daje plus
• $(-2)^4=16$, $\;-2^4=-16$bez nawiasu potęgujesz samo 2
• $\left(\dfrac ab\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}$$b\neq0$

Działania na potęgach

• $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$
• $a^m:a^n=a^{m-n}$$a\neq0$, $m>n$
• $(a^m)^n=a^{m\cdot n}$
• $a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n$
• np. $2^6\cdot25^3=2^6\cdot5^6=10^6$
• $a^n:b^n=(a:b)^n$$b\neq0$

Wspólna podstawa

• $9^5=(3^2)^5=3^{10}$zamień na tę samą podstawę
• np. $3\cdot9^5=3^1\cdot3^{10}=3^{11}$

Notacja wykładnicza

• $a\cdot10^k$$1\le a<10$, $k$ całkowite
• $3{,}5\cdot10^6=3\,500\,000$$k>0$: przecinek o $k$ miejsc w prawo
• $5{,}27\cdot10^{-3}=0{,}00527$$k<0$: przecinek o $|k|$ miejsc w lewo

Szacowanie

• $7<\sqrt{60}<8$bo $49<60<64$
• $\sqrt2\approx1{,}41$
• $\sqrt3\approx1{,}73$
• $\sqrt5\approx2{,}24$

Pierwiastki

• $\sqrt a=b$, gdy $b^2=a$
• $\sqrt a\cdot\sqrt b=\sqrt{a\cdot b}$też dla $\sqrt[3]{a}$
• $\sqrt a:\sqrt b=\sqrt{a:b}$
• $(\sqrt a)^2=a$
• dla $a,b\ge0$, przy dzieleniu $b>0$

Wyłączanie i włączanie czynnika

• $\sqrt{a^2\cdot b}=a\sqrt b$największy kwadrat, $a,b\ge0$
• $a\sqrt b=\sqrt{a^2\cdot b}$włączanie, $a,b\ge0$
• $\sqrt2+2\sqrt2=3\sqrt2$jak wyrazy podobne
• np. $\sqrt{27}-\sqrt{12}=3\sqrt3-2\sqrt3=\sqrt3$

Procent to ułamek

• $p\%=\dfrac{p}{100}$$100\%=1$ to całość, $7\%=0{,}07$

Trzy pytania o procent

• $a=\dfrac{p}{100}\cdot b$ile to jest $p\%$ liczby $b$
• $p\%=\dfrac{a}{b}\cdot 100\%$jakim procentem liczby $b$ jest $a$
• $b=a:\dfrac{p}{100}$całość, gdy jej $p\%$ to $a$

Podwyżka i obniżka

• $b\cdot\left(1+\dfrac{p}{100}\right)$o $p\%$ więcej
• $b\cdot\left(1-\dfrac{p}{100}\right)$o $p\%$ mniej
• np. $+40\%$: mnożnik $1{,}4$
  $-40\%$: mnożnik $0{,}6$
• $\text{cena przed}=\dfrac{\text{cena po}}{\text{mnożnik}}$

Dwie zmiany po kolei

• mnożysz oba mnożniki
• $20\%$ z $30\%$ liczby $x$ to$0{,}2\cdot0{,}3\cdot x=0{,}06x$

Proporcjonalność prosta

• $y=k\cdot x$$k>0$ to stała, czyli $y$ dla $x=1$
• $\dfrac{y}{x}=k$, gdy $x\ne0$

Proporcja

• $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\;\Rightarrow\;a\cdot d=b\cdot c$

Podział w stosunku

• $1:2:3\;\to\;1x:2x:3x$
• $1x+2x+3x=6x$

• np. dzielisz $60$ w stosunku $1:2:3$
• $1x+2x+3x=60$
• $6x=60$
• $x=10$
• czyli $10:20:30$

Prędkość, droga, czas

Skala

Minuty i godziny

• $1\text{ h }15\text{ min}=1{,}25\text{ h}$minuty to nie setne części

• zatrzymaj się na pełnej godzinie
• np. od 8:40 do 11:15: $20\text{ min}+2\text{ h}+15\text{ min}$ $=2\text{ h }35\text{ min}$

Czas i kalendarz

• minuta60 s
• godzina60 min = 3600 s
• kwadrans15 min
• doba24 h
• tydzień7 dni
• kwartał3 miesiące
• półrocze6 miesięcy
• rok365 dni, przestępny 366 np. 2024, 2028
• luty28 dni, w przestępnym 29
• 30 dnikwiecień, czerwiec, wrzesień, listopad
• 31 dnipozostałe miesiące

• dzień tygodnia za $n$ dni: reszta z $n:7$

Rozwiązywanie równania

• $5x-3=2x+9\;\;/{-}2x$do obu stron dodaj lub odejmij to samo
• $3x-3=9\;\;/{+}3$
• $3x=12\;\;/{:}3$obie strony pomnóż lub podziel przez to samo $\neq 0$
• $x=4$

Równanie z ułamkami

• $\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{3}=10\;\;/{\cdot}6$mnożenie przez wspólny mianownik
• $3x+2x=60$
• $5x=60\;\;/{:}5$
• $x=12$

Przekształcanie wzorów

1. Aby otrzymać $a$ ze wzoru:

• $P=\dfrac{(a+b)\cdot h}{2}\;\;/{\cdot}2$

przekształcasz:

• $2P=(a+b)\cdot h\;\;/{:}h$
• $\dfrac{2P}{h}=a+b\;\;/{-}b$

otrzymujesz:

• $a=\dfrac{2P}{h}-b$

2. Aby otrzymać $H$ ze wzoru:

• $V=\dfrac{1}{3}P_p\cdot H\;\;/{\cdot}3$
• $3V=P_p\cdot H\;\;/{:}P_p$
• $H=\dfrac{3V}{P_p}$

3. Aby otrzymać $a$ ze wzoru:

• $L=2a+2b+c\;\;/{-}2b{-}c$
• $2a=L-2b-c\;\;/{:}2$
• $a=\dfrac{L-2b-c}{2}$dzielenie całej strony przez $2$

Proporcja

• $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\;\Rightarrow\;a\cdot d=b\cdot c$

Liczba rozwiązań

• $x+3=x-4$
  $3=-4$sprzeczne: brak rozwiązań
• $2(x+1)=2x+2$
  $2=2$tożsamościowe: każda liczba

Zadanie tekstowe

1. napisz, co oznacza $x$
2. inne wielkości zapisz przez $x$
3. ułóż równanie z treści
4. rozwiąż równanie
5. sprawdź wynik w treści zadania, napisz odpowiedź

Kąty

• ostry$0^\circ<\alpha<90^\circ$
• prosty$90^\circ$
• rozwarty$90^\circ<\alpha<180^\circ$
• półpełny$180^\circ$
• pełny$360^\circ$

• $\alpha=\alpha'$wierzchołkowe
• $\alpha+\beta=180^\circ$przyległe

Proste równoległe

• $\alpha$naprzemianległe
• $\beta$odpowiadające

Suma kątów trójkąta

• $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$
• $\delta=\alpha+\gamma$kąt zewnętrzny
• $\alpha+\beta=90^\circ$kąty ostre, gdy $\gamma=90^\circ$
• najwyżej jeden kąt $\ge 90^\circ$

Pole trójkąta

• $P=\dfrac12\,a\cdot h_a$tak samo $b$ i $h_b$, $c$ i $h_c$
• $P=\dfrac12\,a\cdot b$
  prostokątny, $a$, $b$ przyprostokątne

Trójkąt równoramienny

• $\gamma=180^\circ-2\alpha$
• $\alpha=(180^\circ-\gamma):2$
• $L=a+2b$
• $h$ dzieli podstawę na połowy

Przystawanie trójkątów

• odpowiednie boki i kąty równe

• bbbtrzy boki
• bkbdwa boki i kąt między nimi
• kbkbok i dwa kąty przy nim

• trzy równe kąty nie wystarczą

Nierówność trójkąta

• $a+b>c$$c$ najdłuższy bok

Twierdzenie Pitagorasa

• $a^2+b^2=c^2$tylko w trójkącie prostokątnym

Układ współrzędnych

• $S=\left(\dfrac{x_A+x_B}{2},\ \dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$środek odcinka $AB$
• $\begin{aligned}&(x_B,\ y_B)=\\&\quad(2x_S-x_A,\ 2y_S-y_A)\end{aligned}$drugi koniec, gdy znasz $S$ i $A$
• $|AB|=\sqrt{3^2+4^2}=5$przyprostokątne to różnice $x$ i $y$

Ukryty trójkąt prostokątny

• $a^2=\left(\dfrac e2\right)^2+\left(\dfrac f2\right)^2$bok rombu, przekątne $e$ i $f$

Trójkąty szczególne

• $a,\ a,\ a\sqrt{2}$kąty $45^\circ$, $45^\circ$, $90^\circ$
• $d=a\sqrt{2}$przekątna kwadratu
• $x,\ x\sqrt{3},\ 2x$$x$ naprzeciw kąta $30^\circ$
• $h=\dfrac{a\sqrt3}{2}$, $P=\dfrac{a^2\sqrt3}{4}$trójkąt równoboczny, bok $a=2x$

Trójki pitagorejskie

wielokrotność trójki to też trójka

Okrąg i koło