Trójkąty i czworokąty: zadania z egzaminu ósmoklasisty

Zadania z karty z rozwiązaniem krok po kroku

Pod każdym zadaniem wybierasz, jak chcesz zobaczyć rozwiązanie. Z głosem rozwiązuje je Mati, asystent z aplikacji easymat: pisze na tablicy linijka po linijce, dopisuje kąty na rysunku i mówi, co robi i dlaczego. Te same kroki możesz też po prostu przeczytać. Nie trzeba się logować. Najlepiej, żeby uczeń najpierw spróbował sam na karcie, a rozwiązanie obejrzał, gdy utknie albo chce się sprawdzić.

1. łatwe
2. Egzamin 2025, zadanie 13 · bezbłędnie rozwiązało 70% uczniów

   1. Obwód trapezu z kwadratem i rombem

   Trapez $ABCD$ podzielono na trzy figury: kwadrat $AEGD$, trójkąt $EFG$ i romb $FBCG$ (zobacz rysunek). Na rysunku podano również długości boków trójkąta $EFG$.

   

   Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

   Obwód trapezu $ABCD$ jest równy

   • A. $56$
   • B. $72$
   • C. $88$
   • D. $120$

   Jak to rozwiązać?

   Obejrzyj z głosem · 1 minPrzeczytaj krok po kroku
3. Egzamin 2024, zadanie 5 · bezbłędnie rozwiązało 64% uczniów

   2. Kąt α w trapezie

   Dany jest trapez $ABCD$, w którym bok $AB$ jest równoległy do boku $DC$. W tym trapezie poprowadzono odcinek $EC$ równoległy do boku $AD$, podano miary dwóch kątów oraz oznaczono kąt $\alpha$ (zobacz rysunek).

   

   Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

   Kąt $\alpha$ ma miarę

   • A. $55^\circ$
   • B. $50^\circ$
   • C. $45^\circ$
   • D. $20^\circ$

   Jak to rozwiązać?

   Obejrzyj z głosem · 1 minPrzeczytaj krok po kroku
4. średnie
5. Egzamin 2022, zadanie 13 · bezbłędnie rozwiązało 60% uczniów

   3. Kąt w trójkącie z odcinkiem AD

   Dany jest trójkąt $ABC$, w którym kąt $BCA$ ma miarę $35^\circ$. Punkt $D$ leży na boku $BC$ tego trójkąta. Odcinek $AD$ ma taką samą długość jak odcinek $BD$. Kąt $ADC$ ma miarę $130^\circ$ (zobacz rysunek).

   

   Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

   Kąt $CAB$ ma miarę

   • A. $95^\circ$
   • B. $75^\circ$
   • C. $90^\circ$
   • D. $80^\circ$

   Jak to rozwiązać?

   Obejrzyj z głosem · 1 minPrzeczytaj krok po kroku
6. Egzamin 2025, zadanie 18 · bezbłędnie rozwiązało 39% uczniów

   4. Trzy kąty trapezu

   Na rysunku przedstawiono trapez $ABCD$, w którym kąt $ABC$ ma miarę $48^\circ$. Odcinek $EC$ dzieli ten trapez na równoległobok $AECD$ i trójkąt $EBC$, w którym kąt $BCE$ ma miarę $57^\circ$ (zobacz rysunek).

   

   Oblicz miary kątów $DAB$, $BCD$, $CDA$ trapezu $ABCD$. Zapisz obliczenia.

   Jak to rozwiązać?

   Obejrzyj z głosem · 1 minPrzeczytaj krok po kroku
7. trudne
8. Egzamin 2025, zadanie 20 · bezbłędnie rozwiązało ok. 25% uczniów

   5. Pole czworokąta w kwadracie

   Dany jest kwadrat $ABCD$ o boku długości $15$ cm. Każdy z boków $AB$ i $CD$ podzielono na trzy równe części, a każdy z boków $AD$ i $BC$ podzielono na pięć równych części. Na boku $BC$ zaznaczono punkt $E$, na boku $CD$ zaznaczono punkt $F$, a ponadto poprowadzono odcinki $AE$ i $AF$ (zobacz rysunek).

   

   Oblicz pole czworokąta $AECF$. Zapisz obliczenia.

   Jak to rozwiązać?

   Obejrzyj z głosem · 1 minPrzeczytaj krok po kroku

Źródła: CKE, sprawozdanie 2022, s. 14; CKE, sprawozdanie 2024, s. 13; CKE, sprawozdanie 2025, s. 15 i 16.

Co jest w karcie?

W karcie jest pięć zadań z egzaminów od 2022 do 2025, od łatwych do trudnych. Łatwe to obwód trapezu złożonego z kwadratu, trójkąta i rombu oraz kąt w trapezie, średnie to kąt w trójkącie równoramiennym i trzy kąty trapezu, a trudne to pole czworokąta wyciętego z kwadratu. Każde zadanie ma rysunek z arkusza, a pod nim miejsce w kratkę na obliczenia. Na egzaminie uczniowie zdobyli na tych pięciu zadaniach średnio3,8 punktu na 8 możliwych.

Źródła: CKE, sprawozdanie 2022, s. 14; CKE, sprawozdanie 2024, s. 13; CKE, sprawozdanie 2025, s. 15, 16 i 48.

Przy zadaniach zamkniętych „bezbłędnie” oznacza, że uczeń wybrał dobrą odpowiedź. Przy zadaniach otwartych oznacza komplet punktów. Za zadanie 5 komplet zdobył co czwarty uczeń, a prawie 70% dostało 0 punktów.

Dlaczego trójkąty i czworokąty teraz?

W podręczniku GWO „Matematyka z plusem 8” po wyrażeniach algebraicznych i równaniach przychodzi dział „Figury geometryczne na płaszczyźnie”. Pierwszy temat to właśnie trójkąty i czworokąty, a zaraz po nim twierdzenie Pitagorasa. Według planu wydawcy klasa 8 zaczyna ten dział pod koniec października, więc karta przyda się jako powtórka kątów, obwodów i pól z wcześniejszych klas na samym początku działu.

Źródło: GWO, rozkład materiału dla klasy 8.

Jak CKE daje punkty za te zadania?

• Zadania zamknięte (1-3): 1 punkt za dobrą odpowiedź.
• Zadanie 4 (trzy kąty trapezu): 1 punkt za dobry sposób obliczenia dwóch kątów albo za same dwie dobre miary, np. wpisane na rysunku. 2 punkty za trzy kąty z obliczeniami i dobrymi wynikami.
• Zadanie 5 (pole czworokąta): 1 punkt za pole jednego z trójkątów albo trapezów, z których da się złożyć rozwiązanie. 2 punkty za cały dobry sposób, np. pole kwadratu minus pola dwóch trójkątów. 3 punkty za dobre obliczenia i wynik z jednostką: brak jednostki to błąd rachunkowy, czyli 1 punkt mniej.
• Sam wynik bez obliczeń to 0 punktów. Wynik odczytany z rysunku linijką też się nie liczy.

Źródło: CKE, arkusze.

Najczęstsze pytania

Czy karta jest za darmo?

Tak. Kartę z zadaniami i rozwiązania wysyłamy w PDF na adres podany w formularzu, razem z kartami wzorów.

Czy do tych zadań potrzebne jest twierdzenie Pitagorasa?

Nie. Wystarczą kąty w trójkątach i czworokątach, własności kwadratu, rombu, równoległoboku i trapezu oraz wzory na pola. Twierdzenie Pitagorasa to kolejny temat działu.

Czy do rozwiązań z Matim trzeba zakładać konto?

Nie. Rozwiązania krok po kroku na tej stronie działają bez logowania. Konto jest potrzebne dopiero wtedy, gdy uczeń chce rozwiązywać zadania w aplikacji i dostać sprawdzenie swojego zapisu.